Boole-algebra

Egy halmazt a rajta értelmezett műveletekkel és tulajdonságokkal együtt Boole-algebrának nevezünk.

Logikai műveletek

A bináris számrendszerben felírt számokkal különböző műveleteket is végezhetünk. A számrendszer egy-egy számjegye megfelel egy-egy logikai kijelentésnek (0-hamis, 1-igaz), így elsősorban logikai műveletek végzésére alkalmas. Minden logikai művelet operandusokból (a,b,c,…,z) és logikai operátorokból (NOT, AND, OR, XOR, IMP, EQ) áll. A logikai műveletek legegyszerűbb megjelenítési módja az igazságtáblázat.

A műveleteket két csoportra bonthatjuk, az egy változóval, illetve a több változóval végezhető műveletekre. Egy logikai kifejezésnek kétféle logikai értéke lehet: ha igaz 1, ha hamis 0.

Egy változóval végezhető logikai művelet a NEM (NOT), amely az állítások logikai értékét fordítja meg.

A NOT logikai művelet igazságtáblázata:

Több változóval végezhető művelet a logikai ÉS (AND) művelet, amely logikai értéke csak abban az esetben IGAZ, ha minden, a műveletben részt vevő kifejezés logikai értéke IGAZ, minden más esetben HAMIS logikai értéket ad.

Az AND logikai művelet igazságtáblázata:

A több változóval végezhető logikai műveletek közé tartozik a logikai VAGY (OR) művelet is. Logikai értéke IGAZ, ha a műveletben részt vevő kifejezések logikai értékének bármelyike IGAZ. A művelet logikai értéke csak akkor lesz HAMIS, ha a műveletben részt vevő kifejezések logikai értékének mindegyike HAMIS.

Az OR logikai művelet igazságtáblázata:

A logikai VAGY művelet mellett fontos szerepet kap a logikai
KIZÁRÓ VAGY (XOR) művelet is. Logikai értéke akkor ad IGAZ eredményt, ha a műveletben részt vevő kifejezések logikai értékei különbözőek. Abban az esetben, ha a műveletben részt vevő kifejezések logikai értékei megegyeznek, HAMIS logikai értéket kapunk eredményül.

A XOR logikai művelet igazságtáblázata:

További több változón végezhető logikai művelet az IMPLIKÁCIÓ (IMP), a "ha a, akkor b" művelete. Az implikáció olyan művelet, mely logikai értéke pontosan akkor HAMIS, ha a műveletben részt vevő bemeneti kifejezés logikai értékének IGAZ voltából következik, hogy a műveletben részt vevő kifejezés kimeneti logikai értéke HAMIS. Az összes többi esetben a logikai értéke IGAZ.

Az IMP logikai művelet igazságtáblázata:

Végül az EKVIVALENCIA (EQ) művelete olyan logikai művelet, amely logikai értéke pontosan akkor IGAZ, ha a műveletben részt vevő két kifejezés logikai értéke azonos.

Az EQ logikai művelet igazságtáblázata: